Qu'est-ce que intégration par partie ?

L'intégration par parties est une technique d'intégration qui permet de calculer l'intégrale d'un produit de deux fonctions. Elle repose sur la formule de dérivation d'un produit de fonctions et s'avère particulièrement utile lorsque l'intégrande est le produit de deux fonctions de nature différente (par exemple, un polynôme et une fonction trigonométrique ou exponentielle).

Formule générale:

∫ u dv = uv - ∫ v du

où :

• u est une fonction de x
• dv est une autre fonction de x multipliée par dx
• du est la dérivée de u par rapport à x, multipliée par dx
• v est une primitive de dv

Choix de u et dv:

Le choix approprié de u et dv est crucial pour simplifier l'intégrale. Une bonne stratégie consiste à choisir u de telle sorte que sa dérivée (du) soit plus simple que u, et dv de telle sorte que son intégrale (v) soit facile à calculer. L'acronyme LIATE (Logarithmique, Inverse trigonométrique, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle) peut aider à déterminer l'ordre de priorité pour le choix de u.

Étapes de l'intégration par parties:

1. Identifier u et dv : Choisir judicieusement u et dv dans l'intégrande.
2. Calculer du et v : Dériver u pour obtenir du et intégrer dv pour obtenir v.
3. Appliquer la formule : Substituer u, v, du et dv dans la formule d'intégration par parties.
4. Évaluer la nouvelle intégrale : Calculer l'intégrale ∫ v du. Si nécessaire, répéter l'intégration par parties.
5. Simplifier et ajouter la constante d'intégration : Simplifier le résultat et ajouter la constante d'intégration C.

Applications courantes:

• Intégrales de produits de polynômes et de fonctions trigonométriques (sin(x), cos(x)).
• Intégrales de produits de polynômes et de fonctions exponentielles (e^x).
• Intégrales contenant des fonctions logarithmiques (ln(x)).
• Intégrales contenant des fonctions trigonométriques inverses (arctan(x)).

Liens importants :

• Formule%20d'intégration%20par%20parties
• Choix%20de%20u%20et%20dv
• LIATE
• Applications%20de%20l'intégration%20par%20parties